论文摘要：结构动力特性被广泛应用于桥梁结构技术状态评估中，由此涉及到一些动力学基本概念的理解和应用的问题尚待深入探讨。本文就周期信号基频与结构第一阶固有频率的关系、结构各阶位移模态的贡献与模态应变能的关系、结构自由衰减响应及其在结构阻尼识别中的应用、结构无阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系及其应用等问题进行了辨析，特别是结合桥梁的检测、桥梁荷载试验与状态评价等有关应用技术问题进行了分析。

　　论文关键词：结构动力特性，固有频率，桥梁荷载试验，模态分析

　　0引言

　　随着科学技术的进步，结构动力特性越来越广泛地应用于桥梁结构抗震设计、桥梁结构故障诊断和桥梁结构健康状态监测等工程技术领域，由此应用而涉及到的一些动力学基本概念理解的问题凸显出来。本文就周期信号基频与结构第一阶固有频率的关系、结构各阶位移模态的贡献与模态应变能的关系、结构自由衰减响应及其在结构阻尼识别时的应用、结构无阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系及其应用等若干动力学问题进行了辨析与探讨，旨在桥梁工程技术应用中、特别是在桥梁结构检测、桥梁荷载试验与技术状态评价中合理、科学的应用，从而获得客观、可靠的结论。

　　1周期信号基频与结构第一阶固有频率

　　对于周期信号f（t），若在区间上满足狄利克雷（Dirichlet）条件，则可展开成傅里叶（Fourier）级数

　　式中：、为傅里叶系数，称为基频，称为倍频。

　　周期信号的频谱图为一系列离散谱线，一旦识别其基频，其它各阶频率亦已获得。所以，周期信号的基频具有特别重要的理论意义。

　　若T→+∞，则周期信号f（t）拓展为f（t），则有

　　（2）

　　*西部交通建设科技项目（200731822330）资助。

　　**张开银（420106196005133638）：（1960－），男，武汉理工大学教授/博导；主要研究方向为结构工程、桥梁工程及桥梁结构施工监控和长期健康监测。

　　非周期信号的频谱图为连续谱。

　　而对于任一受随机激励的线弹性结构物，其响应亦是随机的，频谱图是连续的。通过对结构响应信号的谱分析，通常可识别出结构的低阶固有频率。目前，工程上习惯称结构的第1阶固有频率为基频。由振型叠加原理可知，结构的响应按结构模态振型展开，理论上结构各阶模态的地位是等同的，其对响应的贡献取决于模态参与因子；结构的其它阶固有频率与第1阶固有频率之间一般不存在倍数关系。因此，类似周期信号频谱分析的做法而将结构物的第1阶固有频率称为基频是不合适的，其客观上夸大了第1阶模态在结构动力分析中的地位，强化了“低阶模态贡献较大”的概念。事实上，这种潜意识在结构动力分析、结构动态试验、桥梁荷载试验等方面始终存在着，并支配着人们的认识与行为。

　　2结构模态对位移响应的贡献

　　对于结构的位移响应，一般来说低阶模态对位移响应的贡献相对较大，而高阶模态对位移响应的贡献相对较小。这一从简单结构物振动过程中所观察到的表象，或多或少地强化了结构低阶模态的作用，以致于在结构动力特性分析、结构响应时程分析和桥梁结构动荷载试验等研究中，往往偏重于分析结构低阶模态对结构响应的影响。

　　从结构的位移响应观察中获得的这一直观认识，在结构振动理论上尚未给予明确的论证。事实上，结构的作用（响应）依赖于激励的性质与结构物本身。同时，结构物疲劳损伤的累积效应乃至破坏，客观的评价有赖于各阶模态所蕴涵的应变能。根据振型叠加原理，结构的响应可视为各模态分量加权之和

　　（3）

　　式中：u为物理坐标阵，Φ为模态矩阵，ξ为主坐标阵；ξ的诸元素ξ是相应的模态φ参与程度的度量。

　　为了说明不同阶模态对结构的影响程度，现以一横向振动的匀质等截面简支梁为例进行讨论。假定梁的第j阶模态所对应的响应为

　　，j=1,2……（4）

　　根据初等梁理论，第j阶模态对应的应变能为

　　（5）

　　式中：l为梁的纵向长度，EI为梁的抗弯刚度。

　　由式（5），若结构第n阶模态与第m阶模态具有相同应变能时，对应的最大振幅比为

　　（6）

　　同理，若梁结构第n阶模态与第m阶模态具有相同的振幅时，对应的应变能比为

　　（7）

　　假如在某种特定环境激励下，简支梁结构的响应仅由第1阶模态和第2阶模态所构成。当结构的第1阶模态和第2阶模态具有相同应变能（即）时，则结构第1阶模态对应的最大振幅是第2阶模态对应的最大振幅的4倍（即），这就是为什么结构的第1阶模态更容易被观察到的缘故；而当结构第1阶模态对应的最大振幅与第2阶模态对应的最大振幅相等时（即，让其处于同等可观测的地位），结构第1阶模态对应的应变能仅是第2阶模态对应的应变能的（即0）。或许这种情形下，结构第2阶模态所对应的某些部位已经屈服或破坏。所以，低阶模态具有较大的位移，并不一定具有较大的应变能。当然，随着模态阶数的增

　　加，结构其它阶相邻模态的位移响应或模态应变能之间的差别将会逐渐变小。

　　结构在外界激励下的响应包含有多个模态的作用，尽管有时高阶模态在位移响应上远远小于低阶模态，但其对应的模态应变能并不一定小，或许还是结构振动主要的控制因素。因此，仅凭结构位移响应的大小舍取模态阶数是不合适的。值得一提的是，在结构损伤识别方面，高阶振动响应信号蕴涵有更多的损伤特征信息。

　　3结构的自由响应及其应用

　　由于阻尼的存在，结构作自由振动时其响应将逐渐衰减。

　　鉴于人们对低阶模态的潜意识：“结构的模态阶数越高，相应响应的衰减速度就越快（结构阻尼对能量的耗散）；经过一段时间衰减之后保留的部分响应即是结构第1阶模态所作的自由衰减振动”。这一尚未被理论证明的认识被当作结论被工程界所接受，并在许多结构的动态测试中应用（如被用来确定结构的第1阶固有频率及其阻尼系数等）。

　　结构自由振动时各阶模态对应的响应衰减快慢与模态参与因子有关（而模态参与因子取决于激励和结构本身），且并非严格按结构模态顺序排列。正如上节所讨论的那样，尽管高阶模态的位移响应较小，其对应的模态应变能并不一定也小。本文通过三峡库区一钢筋混凝土转体施工拱桥（主跨105m）成桥动态试验的分析结果，以此说明结构自由振动衰减的快慢并非按结构的模态序号排列；同时也说明自由衰减响应用来确定结构第1阶固有频率及其阻尼可能导致的谬误。

　　拱桥结构有限元模型如图1所示。首先对拱桥结构进行了动力计算分析，其结构的低阶模态主要表现为沿铅垂方向的弯

　　曲振动（如图2所示）。图1拱桥结构示意图

　　第1阶振型（f=2.40Hz）第2阶振型（f=3.78Hz）

　　第3阶振型（f=5.12Hz）第4阶振型（f=7.52Hz）

　　图2拱桥结构前4阶位移模态

　　其次，在图1所示拱桥结构的A点（处）、A点（处）、A点（处）和A点（处）分别布置了加速度传感器；拱桥结构在脉冲激励下，其振动的自由衰减响应信号由低频加速度传感器拾取，经过电荷放大器、低通滤波器后，通过数字信号采集分析系统作频谱分析。A点的加速度响应频谱如图3所示，所识别的结构第1至4阶固有频率分别为2.12Hz、3.54Hz、4.78Hz和6.44Hz；而由A点的加速度响应频谱分析仅识别出了结构的第2阶和第4阶固有频率，其为3.54Hz和6.44Hz（由结构动力分析可知，对称点的响应信号无法识别出反对称的振动模态）。如果将A点的加速度自由响应信号经过一定时间衰减后（即截取A点信号的后续部分），可得到一个类似于单自由度振动系统的自由衰减响应信号，对其作余振波形分析，其识别的频率约为3.50Hz（如果对其信号作频谱分析，识别的固有频率为3.54Hz），恰好为结构的第2阶固有频率（如图4所示）。分析结果表明：①该拱桥结构的第1阶模态呈反对称；②拱桥结构的第2阶模态比第1阶模态衰减得慢，即结构自由振动时各阶模态衰减的快慢并非按模态顺序排列。“结构的模态阶数越高，其相应响应的衰减就越快”这一假定显然不能成立。同时必须指出，在许多桥梁结构荷载试验的动态检测中，目前仍然应用结构的余振波形来识别结构第1阶模态的固有频率和阻尼比，其极有可能将结构的高阶模态参数作为第1阶模态参数，进而有可能对结构的动力性能作出错误的评判。

　　图3A点的加速度响应频谱图4A点的加速度响应衰减后的频谱

　　4结构固有频率及其应用

　　随着对结构动力特性的深入研究，其被越来越广泛地应用于结构有限元模型修正、结构损伤识别、结构健康状态监测等研究领域。一般情况下，由于结构阻尼较小，因此在结构动力特性的计算分析中，往往不计及结构阻尼以得到结构的振型和无阻尼的固有频率；而在结构的动态特性的试验中，识别的却是结构有阻尼的固有频率。理论上有

　　（8）

　　在目前桥梁结构的检测中，常常利用结构的实测固有频率与计算固有频率之比来评价桥梁结构整体性能和技术状况，祥见表1。

　　表1根据实测自振频率评定桥梁结构技术状态标准

　　桥梁部件

　　桥梁上部结构

　　桥梁下部结构

　　评定标度

　　技术状况

　　技术状况

　　1

　　≥1.10

　　良好

　　≥1.20

　　良好

　　2

　　1.00～1.10

　　较好

　　1.00～1.20

　　较好

　　3

　　0.90～1.0

　　较差

　　0.95～1.0

　　较差

　　4

　　0.75～0.90

　　差

　　0.80～0.95

　　差

　　5

　　0.75以下

　　危险

　　0.80以下

　　危险

　　备注

　　1、对缺少资料的中小跨径钢筋混凝土或预应力混凝土桥梁，可按下式计算上构一阶竖弯自振频率；

　　2、未做检测的构件其评定标度值取1。

　　表1给定的桥梁结构技术状态标准可理解为：当时，表明构造物的实际刚度优于其设计值，因而认为结构物的建造品质是优良的；反之，当时，表明构造物的实际刚度劣于其设计值，认为构造物的建造品质是欠佳的，甚至是较差的。其实，的结论与式（8）是相悖的，在理论上是混乱的。结构有限元分析结果的正确性，有赖于模型边界的合理简化、材料物性参数的取值等因素；特别是混凝土构造物，其实际弹性模量值往往比设计弹性模量值要大许多，且混凝土标号越高，这种差异就越大。当混凝土结构有限元分析模型中选用设计弹性模量值时，绝大多数情况下可得到，表1所表述的桥梁结构技术状态评定标准似乎就合情合理了。然而，另一不被人们充分认识、不可原谅的错误悄然发生。在桥梁结构动、静力荷载试验中，在进行结构动力分析的同时还将进行结构静力计算，即利用同一有限元分析模型，还将计算桥梁结构荷载作用下的变形、应变和应力等。在桥梁结构的荷载试验中涉及到一个重要的概念：桥梁荷载校验系数

　　（9）

　　式中：Se为桥梁结构试验荷载下实测应变或变位值；Ss为桥梁结构试验荷载下计算应变或变位值。

　　校验系数是评定桥梁结构工作状况、确定桥梁承载力的一个重要指标，表2规定了各类桥梁结构校验系数的取值范围。　表2桥梁校验系数常值表

　　桥 梁 类 型 应力（或应变）校验系数 挠度校验系数

　　钢筋混凝土板桥 0.30~0.70 0.40~0.80

　　钢筋混凝土梁桥 0.40~0.80 0.50~0.90

　　预应力混凝土桥 0.50~0.90 0.60~1.00

　　圬 工 拱 桥 0.60~1.00 0.60~1.00

　　理论上讲，荷载校验系数应该接近于1，这才表明桥梁结构理论分析与试验结果是基本一致的。而在动力分析的有限元模型支配下，无论选用挠度（变形）、应变或应力哪一物理量，通过静力计算所得到的桥梁荷载校验系数一般会小于1，不可能不满足表2的规定值。因为在结构有限元静力分析中

　　（10）

　　式中：{F}为结构荷载列阵；[K]为结构刚度矩阵；{δ}为结构位移列阵。

　　挠度（变形）、应变或应力某些物理量的计算结果或试验测试结果会有较大的误差（仅当的情况），偏离了真值，具体分析见表3

　　表3桥梁荷载校验系数分析

　　类 别 计算值Se 实测值Ss 校验系数η 结 论

　　挠 度 偏 大 基本准确 偏 小 满足表2

　　应 变 偏 大 基本准确 偏 小 满足表2

　　应 力 基本准确 偏 小 偏 小 满足表2

　　所以，仅从荷载校验系数来看，现有的桥梁评价结果并不能反应桥梁结构真实的技术状态，其评价结果可能会埋下灾难性的后果。因此，为了在理论上使荷载校验系数更接近于1，结构有限元模型修正的意义凸显出来。在结构动力计算得到结构无阻尼固有频率和结构动态特性试验识别出结构有阻尼固有频率后，适当调整结构有限元分析模型的边界条件或修正物理参数，使其满足

　　（11）

　　式中：为阻尼比。

　　再利用修正后的结构模型进行结构静力分析，得到静载作用下桥梁结构的位移、应变或应力，然后计算出应力（应变）校验系数或挠度校验系数来评定桥梁结构工作状况和确定桥梁的承载力。

　　5弹性模量动态测试

　　在桥梁结构的荷载试验中，混凝土构件弹性模量的取值，直接关乎到荷载校验系数的准确性，乃至对桥梁结构技术状态的正确评价。在进行结构有限元模型修正时，若前几阶低阶模态均满足式（11），其技术难度在于要对结构进行试验模态分析，以识别结构各阶模态的阻尼比，试验技术要求高。利用钻芯法尽管可现场提取混凝土构件试样而进行弹性模量的测试试验，可要求试样数量多、试验值离散性大，且取样工作操作不便、难度较大。

　　根据弹性波传播理论有

　　（12a）

　　（12b）

　　（12c）

　　式中：—横波在混凝土材料中的传播速度；

　　—纵波在混凝土材料中的传播速度；

　　—混凝土材料密度；

　　—混凝土材料泊松比；

　　—混凝土材料弹性模量；

　　—混凝土材料剪切模量。

　　利用超声脉冲回波法，通过现场测试混凝土构件发射波与反射波的时间差，可计算出混凝土介质中纵波的传播速度，再由式（12b）可推算出混凝土构件的弹性模量。该方法简便可行，可与式（11）配合使用，从而使桥梁结构的荷载试验更加科学、可行、可靠。

　　6结束语

　　科学技术的进步和对结构动力特性的深入研究，使得结构动力特性被日益广泛地应用于机械、船舶、交通、航空航天、土木工程等工程技术领域，由此应用而涉及到的一些动力学基本概念的准确理解和正确应用问题甚为重要。本文就周期信号基频与结构第一阶固有频率的关系、结构模态位移与模态应变能的贡献问题、结构自由衰减响应及其结构阻尼的识别、结构无阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系等问题进行了初步探讨，特别是结合桥梁的结构检测、荷载试验与技术状态评价中的有关应用技术问题进行了辨析。同时，文中某些观点和结论，对相关规范的修正也具有积极作用和指导意义。

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